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Latex：代数【大学常用公式】

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伯努利不等式：

不等式：

\begin{array}{*{20}{l}}
{\text{若}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}},\mathop{{b}}\nolimits_{{i}} > 0,i=1,2, \cdots ,n}\\
{\text{且}k > 0,k \neq 1,\frac{{1}}{{k \prime }}+\frac{{1}}{{k}}=1,\text{则}\text{有}}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}} \le {\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}}\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k \prime }}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k \prime }}}},k > 1}}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}} \ge {\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}}\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k \prime }}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k \prime }}}},k < 1}}
\end{array}

多项式定理：

二项式定理：

\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop{{ \left( {a+b} \right) }}\nolimits^{{2}}=\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}+2ab+\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}}\\
{\mathop{{ \left( {a+b} \right) }}\nolimits^{{3}}=\mathop{{a}}\nolimits^{{3}}+3\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}b+3a\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}+\mathop{{b}}\nolimits^{{3}}}\\
{\mathop{{ \left( {a+b} \right) }}\nolimits^{{4}}=\mathop{{a}}\nolimits^{{4}}+4\mathop{{a}}\nolimits^{{3}}b+6\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}+4a\mathop{{b}}\nolimits^{{3}}+\mathop{{b}}\nolimits^{{4}}}\\
{ \cdots }\\
{\mathop{{ \left( {a+b} \right) }}\nolimits^{{n}}\begin{array}{*{20}{l}}
{=\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{0}}\mathop{{a}}\nolimits^{{n}}+\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{1}}\mathop{{a}}\nolimits^{{n-1}}b+\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{2}}\mathop{{a}}\nolimits^{{n-2}}\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}+ \cdots +\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{n-1}}a\mathop{{b}}\nolimits^{{n-1}}+\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{n}}\mathop{{b}}\nolimits^{{n}}}\\
{=\mathop{ \sum }\limits_{{k=0}}^{{n}}\mathop{{C}}\nolimits_{{n}}^{{k}}\mathop{{a}}\nolimits^{{n-k}}\mathop{{b}}\nolimits^{{k}}}
\end{array}}
\end{array}

赫尔德不等式：

阶乘有限和公式：

\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}j!j={ \left( {n+1} \right) }!-1}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}\frac{{j}}{{ \left( {j+1} \left) !\right. \right. }}=1-\frac{{1}}{{ \left( {n+1} \left) !\right. \right. }}}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}\frac{{\mathop{{j}}\nolimits^{{2}}+j-1}}{{ \left( {j+2} \left) !\right. \right. }}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{{ \left( {n+1} \left) !\right. \right. }}{{ \left( {n+2} \left) !\right. \right. }}}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}\frac{{1}}{{j!{ \left( {n-j} \right) }!}}=\frac{{\mathop{{2}}\nolimits^{{n}}}}{{n!}}}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{j}}}\frac{{n{ \left( {n+j-1} \left) !\right. \right. }}}{{\mathop{{ \left( {j!} \right) }}\nolimits^{{2}}{ \left( {n-j} \left) !\right. \right. }}}=0}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}\frac{{j}}{{ \left( {2+j} \left) !!\right. \right. }}=\frac{{1}}{{2}}{ \left[ {1-\frac{{1}}{{ \left( {2n+1} \left) !!\right. \right. }}} \right] }}\\
{\mathop{ \sum }\limits_{{j=1}}^{{n}}\frac{{ \left( {2j-1} \left) !!\right. \right. }}{{ \left( {2+j} \left) !!\right. \right. }}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{{ \left( {2n+1} \left) !!\right. \right. }}{{ \left( {2n+2} \left) !!\right. \right. }}}
\end{array}

柯西不等式：

闵科夫斯基不等式：

\begin{array}{*{20}{l}}
{\text{若}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}\mathop{{,b}}\nolimits_{{i}} > 0,i=1,2, \cdots n}\\
{\text{且}k > 0,k \neq 1,\text{则}\text{有}}\\
{\mathop{{ \left[ {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}{\mathop{{ \left( {\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}+\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}} \right) }}\nolimits^{{k}}}} \right] }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}} \le {\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}}+\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}},k > 1}}\\
{\mathop{{ \left[ {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}{\mathop{{ \left( {\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}+\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}} \right) }}\nolimits^{{k}}}} \right] }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}} \ge {\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}}+\mathop{{ \left( {\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{k}}} \right) }}\nolimits^{{\frac{{1}}{{k}}}},k < 1}}
\end{array}

切比雪夫不等式：

\begin{array}{*{20}{l}}
{\text{若}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}},\mathop{{b}}\nolimits_{{i}} > 0,i=1,2, \cdots ,n}\\
{\text{当}\mathop{{a}}\nolimits_{{1}} \le \mathop{{a}}\nolimits_{{2}} \le  \cdots  \le \mathop{{a}}\nolimits_{{n}}\text{且}\mathop{{b}}\nolimits_{{1}} \le \mathop{{b}}\nolimits_{{2}} \le  \cdots  \le \mathop{{b}}\nolimits_{{n}}\text{时}\text{有}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{ \left( {\frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}} \left)  \left( {\frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}} \left)  \le \frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}\right. \right. \right. \right. }\\
{\text{当}\mathop{{a}}\nolimits_{{1}} \ge \mathop{{a}}\nolimits_{{2}} \ge  \cdots  \ge \mathop{{a}}\nolimits_{{n}}\text{且}\mathop{{b}}\nolimits_{{1}} \ge \mathop{{b}}\nolimits_{{2}} \ge  \cdots  \ge \mathop{{b}}\nolimits_{{n}}\text{时}\text{有}}\\
{ \left( {\frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}} \left)  \left( {\frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}} \left)  \ge \frac{{1}}{{n}}\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}\mathop{{a}}\nolimits_{{i}}\mathop{{b}}\nolimits_{{i}}\right. \right. \right. \right. }
\end{array}}
\end{array}

三角不等式：

斯特林公式：

算术平均值小于等于均方根：

詹森不等式：

几何平均值小于等于算术平均值：

加权平均值不等关系：

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