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Latex：无穷级数【大学常用公式】
吴文中
公式编辑器
：Ⅰ) 像码字一样
Latex
，复杂公式轻松编辑； Ⅱ) 大学、高中、初中、小学常用公式，一键模板。
Note：① 点击链接，想怎么修改就怎么修改；② 复制代码，Latex代码一键获取；
常见麦克劳林公式：
\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{1}}{{1-x}}=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}}&{ \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ {e=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}}&{ \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ { \text{sin} x=\mathop{ \sum }\limits_{{k=0}}^{{ \infty }}\frac{{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{k}}}}{{ \left( {2k+1} \left) !\right. \right. }}\mathop{{x}}\nolimits^{{2k+1}}}&{ \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ { \text{cos} x=\mathop{ \sum }\limits_{{k=0}}^{{ \infty }}\frac{{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{k}}}}{{ \left( {2k} \left) !\right. \right. }}\mathop{{x}}\nolimits^{{2k}}}&{ \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ {\frac{{1}}{{1+x}}=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{n}}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}}&{ \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ { \text{ln} { \left( {1+x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{n}}}}{{n+1}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n+1}}}&{ \left( {-1 < x \le 1} \right) }\\ {\mathop{{a}}\nolimits^{{x}}=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{\mathop{{ \left( { \text{ln} a} \right) }}\nolimits^{{n}}}}{{n!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}}&{ \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ {\frac{{1}}{{1+\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}}=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}{\mathop{{ \left( {-1} \right) }}\nolimits^{{n}}}\mathop{{x}}\nolimits^{{2n}}}&{ \left( {-1 < x < 1} \right) } \end{array}
二项展开式：
\begin{array}{*{20}{l}} {-1 < x < 1}\\ {\mathop{{ \left( {1+x} \right) }}\nolimits^{{m}}=1+mx+\frac{{m{ \left( {m-1} \right) }}}{{2!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+ \cdots +\frac{{m{ \left( {m-1} \right) } \cdots { \left( {m-n+1} \right) }}}{{n!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}+ \cdots }\\ {\sqrt{{1+x}}=1+\frac{{1}}{{2}}x-\frac{{1}}{{2 \cdot 4}}\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+\frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\mathop{{x}}\nolimits^{{3}}-\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}}\mathop{{x}}\nolimits^{{4}}+ \cdots }\\ {\frac{{1}}{{\sqrt{{1+x}}}}=1-\frac{{1}}{{2}}x+\frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}-\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\mathop{{x}}\nolimits^{{3}}+\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}}\mathop{{x}}\nolimits^{{4}}- \cdots } \end{array}
傅里叶级数：
\begin{array}{*{20}{l}} {\text{设}f{ \left( {x} \right) }\text{是}\text{周}\text{期}\text{为}2 \pi \text{的}\text{周}\text{期}\text{函}\text{数}\text{,}\text{可}\text{展}\text{开}\text{为}}\\ {f{ \left( {x} \right) }=\frac{{\mathop{{a}}\nolimits_{{0}}}}{{2}}+\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{ \infty }}{ \left( {\mathop{{a}}\nolimits_{{k}} \text{cos} kx+\mathop{{b}}\nolimits_{{k}} \text{sin} kx} \right) }}\\ {\mathop{{a}}\nolimits_{{n}}=\frac{{1}}{{ \pi }}\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }}f{ \left( {x} \right) } \text{cos} nx \text{d} x{ \left( {n=0,1,2,3, \cdots } \right) }}\\ {\mathop{{b}}\nolimits_{{n}}=\frac{{1}}{{ \pi }}\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }}f{ \left( {x} \right) } \text{sin} nx \text{d} x{ \left( {n=0,1,2,3, \cdots } \right) }} \end{array}
幂级数定义：
\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop{{a}}\nolimits_{{n}}}&{\text{系}\text{数}}\\ {f{ \left( {x} \right) }}&{\text{函}\text{数}}\\ {U \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }&{\text{点}\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}\text{的}\text{某}\text{邻}\text{域}} \end{array}}\\ {\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\mathop{{a}}\nolimits_{{n}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}=\mathop{{a}}\nolimits_{{0}}+\mathop{{a}}\nolimits_{{1}}x+\mathop{{a}}\nolimits_{{2}}\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+ \cdots +\mathop{{a}}\nolimits_{{n}}\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}+ \cdots }\\ {\text{其}\text{中}\mathop{{a}}\nolimits_{{n}}\text{称}\text{为}\text{幂}\text{级}\text{数}\text{的}\text{系}\text{数}} \end{array}
欧拉公式：
\mathop{{e}}\nolimits^{{ix}}\begin{array}{*{20}{l}} {=1+ix+\frac{{1}}{{2!}}{\mathop{{ \left( {ix} \right) }}\nolimits^{{2}}}+\frac{{1}}{{3!}}{\mathop{{ \left( {ix} \right) }}\nolimits^{{3}}}+ \cdots +\frac{{1}}{{n!}}{\mathop{{ \left( {ix} \right) }}\nolimits^{{n}}}+ \cdots }\\ {=1+ix-\frac{{1}}{{2!}}{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}-\frac{{1}}{{3!}}{\mathop{{ix}}\nolimits^{{3}}}+\frac{{1}}{{4!}}{\mathop{{x}}\nolimits^{{4}}}+\frac{{1}}{{5!}}{\mathop{{ix}}\nolimits^{{5}}}- \cdots }\\ {={ \left( {1-\frac{{1}}{{2!}}{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}+\frac{{1}}{{4!}}{\mathop{{x}}\nolimits^{{4}}}- \cdots } \left) +i{ \left( {x-\frac{{1}}{{3!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{3}}+\frac{{1}}{{5!}}\mathop{{x}}\nolimits^{{5}}-} \cdots \right) }\right. \right. }}\\ {= \text{cos} x+ \text{sin} x} \end{array}
三角级数，三角函数的正交性：
\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\mathop{{a}}\nolimits_{{0}}}}{{2}}+\mathop{ \sum }\limits_{{n=1}}^{{ \infty }}{ \left( {\mathop{{a}}\nolimits_{{0}} \text{cos} \frac{{n \pi t}}{{l}}+\mathop{{b}}\nolimits_{{0}} \text{sin} \frac{{n \pi t}}{{l}}} \right) } \xrightarrow {x=\frac{{ \pi t}}{{l}}}\frac{{\mathop{{a}}\nolimits_{{0}}}}{{2}}+\mathop{ \sum }\limits_{{n=1}}^{{ \infty }}{ \left( {\mathop{{a}}\nolimits_{{0}} \text{cos} nx+\mathop{{b}}\nolimits_{{0}} \text{sin} nx} \right) }}\\ {\text{对}\text{于}n=1,2,3, \cdots ,k=1,2,3, \cdots , \cdots n \neq k,\text{有}}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {0=\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }} \text{cos} nx \text{d} x}\\ {0=\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }} \text{sin} nx \text{d} x}\\ {0=\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }} \text{sin} kx \cdot \text{cos} nx \text{d} x}\\ {0=\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }} \text{sin} kx \cdot \text{sin} nx \text{d} x}\\ {0=\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }} \text{cos} kx \cdot \text{cos} nx \text{d} x} \end{array}} \end{array}
三角级数，简谐振动：
\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {y}&{\text{函}\text{数}\text{,}\text{动}\text{点}\text{位}\text{置}}\\ { \omega }&{\text{角}\text{频}\text{率}}\\ {A}&{\text{振}\text{幅}}\\ { \varphi }&{\text{初}\text{相}}\\ {t}&{\text{时}\text{间}} \end{array}}\\ {y=A \text{sin} { \left( { \omega t+ \varphi } \right) }} \end{array}
泰勒级数、麦克劳林级数：
\begin{array}{*{20}{l}} {f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{n}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}},x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\\ {f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{n}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}},x \in U{ \left( {0} \right) }} \end{array}
正弦、余弦级数，傅里叶级数的复数形式：
\begin{array}{*{20}{l}} {\text{当}f{ \left( {x} \right) }\text{为}\text{奇}\text{函}\text{数}\text{时}\text{,}\text{傅}\text{里}\text{叶}\text{级}\text{数}\text{为}}\\ {f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=1}}^{{ \infty }}\mathop{{b}}\nolimits_{{n}} \text{sin} nx}\\ {\text{当}f{ \left( {x} \right) }\text{为}\text{偶}\text{函}\text{数}\text{时}\text{,}\text{傅}\text{里}\text{叶}\text{级}\text{数}\text{为}}\\ {f{ \left( {x} \right) }=\frac{{\mathop{{a}}\nolimits_{{0}}}}{{2}}+\mathop{ \sum }\limits_{{n=1}}^{{ \infty }}\mathop{{a}}\nolimits_{{n}} \text{cos} nx}\\ {\text{傅}\text{里}\text{叶}\text{级}\text{数}\text{的}\text{复}\text{数}\text{形}\text{式}}\\ {f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=- \infty }}^{{ \infty }}\mathop{{c}}\nolimits_{{n}}\mathop{{e}}\nolimits^{{inx}}}\\ {\mathop{{c}}\nolimits_{{n}}=\frac{{1}}{{2 \pi }}\mathop{ \int }\nolimits_{{- \pi }}^{{ \pi }}f{ \left( {x} \right) }\mathop{{e}}\nolimits^{{-inx}} \text{d} x{ \left( {n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots } \right) }} \end{array}
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